genel bakış
Matematik ve fizik bilimlerinde, küresel harmonikler , bir kürenin yüzeyinde tanımlanan özel işlevlerdir. Genellikle bilimde yaygın olarak görülen kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılırlar. Küresel harmonikler, küre üzerinde tam bir dizi ortogonal fonksiyonlardır ve böylece bir küre üzerinde tanımlanan fonksiyonları temsil etmek için kullanılabilir, tıpkı Fourier serileri vasıtasıyla bir daire üzerindeki fonksiyonları temsil etmek için dairesel fonksiyonlar (sinüsler ve kosinler) kullanılır. . Fourier serisindeki sinüsler ve kosinler gibi, küresel harmonikler sağdaki resimde yer alan fonksiyonların satırlarında görüldüğü gibi (uzaysal) açısal frekans tarafından organize edilebilir. Ayrıca, küresel harmonikler SO (3), üç boyutta rotasyonlar için temel fonksiyonlardır ve bu nedenle SO (3) 'ün teorik tartışmasında merkezi bir rol oynarlar.İsimlerine rağmen, küresel harmonikler en basit formunu Kartezyen koordinatlarında alırlar, burada homojen polinomlar olarak tanımlanabilirler (x, y, z) 'de {\ displaystyle \ ell} {\ displaystyle (x, y, z)} Bu Laplace denklemine uyuyor. Laplace denklemini tatmin eden fonksiyonların genellikle harmonik olduğu söylenir, dolayısıyla küresel harmonikler adı verilir. Yukarıda belirtilen polinom derecesinden {display {\ displaystyle \ ell} bir katsayının r ℓ {\ displaystyle r ^ {\ ell}} çıkarımını yapmak için homojenliği kullanırsa, küresel koordinatlarla bağlantı derhal ortaya çıkar; Kalan faktör, sadece küresel açısal koordinatların bir fonksiyonu olarak kabul edilebilir θ {\ displaystyle \ theta} ve φ {\ displaystyle \ varphi} veya oryantasyonel birim vektörünün eşdeğeri r {\ displaystyle {\ mathbf {r}}} bu açılarla belirtilir. Bu ortamda, Laplace denklemine üç boyutta bir dizi çözümün açısal kısmı olarak görülebilirler ve bu bakış açısı genellikle alternatif bir tanım olarak alınır.
Belirli bir küresel harmonikler kümesi, Y ℓ m (θ, φ) {\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi)} veya Y ℓ m (r) {\ displaystyle Y _ {\ ell olarak adlandırılır. } ^ {m} ({\ mathbf {r}}}}, Laplace'ın, 1782'de Pierre Simon de Laplace tarafından ilk kez tanıtıldıkları gibi küresel harmonikleri olarak adlandırılır. Bu işlevler, ortogonal bir sistem oluşturur ve bu nedenle genişlemenin temelini oluşturur. Yukarıda ima edildiği gibi küre üzerinde genel bir işlev.
Küresel harmonikler, çok kutuplu elektrostatik ve elektromanyetik alanların temsili, atomik orbital elektron konfigürasyonlarının hesaplanması, yerçekimi alanlarının temsili, jeoidler, nöral aksonların yolunu ve konumunu belirleme amaçlı elyaf rekonstrüksiyonu gibi birçok teorik ve pratik uygulamada önemlidir. düz çizgi traktografisi için difüzyon ağırlıklı MRI görüntülemeden su difüzyonunun özellikleri ve gezegensel cisimlerin ve yıldızların manyetik alanları ve kozmik mikrodalga fon radyasyonunun karakterizasyonu. 3D bilgisayar grafiğinde, küresel harmonikler dolaylı ışıklandırma (ortam tıkanıklığı, global aydınlatma, önceden ayarlanmış ışınım transferi, vb.) Ve 3D şekillerin modellenmesi dahil olmak üzere çok çeşitli konularda rol oynar. Kesişen düzlemde küresel bir yüzey parçası kesildi. Küresel kapak ve insizyon düzlemi tarafından çevrelenen üç boyutlu parçaya (alt) tekillik denir. → top / küresel geometri / küresel trigonometri
Okunma: 0